Interés compuesto en el ahorro de largo plazo

Qué es

El interés compuesto es lo que ocurre cuando la rentabilidad de un período pasa a formar parte del capital que renta en el período siguiente. Con capital inicial $C_0$ y una tasa $r$ por período, al cabo de $n$ períodos el saldo es $C_n = C_0(1+r)^n$, y no $C_0(1 + rn)$, que sería el interés simple. La diferencia entre ambas fórmulas es toda la teoría: una crece de forma lineal en el tiempo y la otra de forma exponencial. Jacob Bernoulli (1683) estudió justamente qué pasa cuando el período de capitalización se hace cada vez más corto, y encontró que el factor no crece sin límite sino que converge a $e^{rn}$ —el origen del número $e$ como constante financiera antes que como constante matemática—. Richard Price (1771) fue quien popularizó la potencia práctica del mecanismo al calcular fondos de amortización de deuda pública a horizontes de un siglo.

Lo relevante para el ahorro de largo plazo no es que el saldo crezca, sino cómo el saldo responde a cambios en la tasa. Como el horizonte $n$ está en el exponente, una diferencia pequeña en $r$ se convierte en una diferencia grande en el nivel final: elevar $1{,}01$ a la 30 da $1{,}348$, o sea que un punto anual extra durante treinta años deja un capital 35% mayor. Ese es el cálculo del aporte único.

Pero un fondo previsional no es un aporte único: es un flujo de cotizaciones mensuales, y ahí la aritmética cambia y conviene tenerla clara. Los pesos aportados en el último año casi no alcanzan a capitalizar; los del primer año capitalizan la vida entera. Sobre una cotización pareja, pasar de 4% a 5% anual mejora el saldo final en torno a 18% a treinta años y 27% a cuarenta. Es la misma fuerza, atenuada porque el promedio de permanencia del dinero es la mitad del horizonte. De ahí la regla práctica que sí se sostiene: en capitalización individual, los años tempranos valen desproporcionadamente más que los tardíos, y postergar el inicio del ahorro cuesta más que reducir su monto.

Dos precisiones que el modelo simple esconde. Primero, $r$ no es una constante sino una secuencia aleatoria, y lo que determina el saldo terminal es la media geométrica de las rentabilidades, no la aritmética; la brecha entre ambas crece con la volatilidad (aproximadamente $\sigma^2/2$), así que dos carteras con igual retorno esperado pero distinta varianza no entregan la misma pensión. Segundo, lo que se consume es poder de compra: la tasa que importa es la real, deflactada, y por eso en Chile los fondos se miden en UF. La teoría de cómo distribuir riesgo a lo largo de una vida completa viene de Samuelson (1969) y Merton (1969), y el marco de por qué se ahorra en la etapa activa para gastar en la pasiva es la hipótesis del ciclo de vida de Modigliani y Brumberg (1954).

Cómo lo explicó el programa

En bdm-2026-08-27, discutiendo "Comisión versus rentabilidad en el ahorro previsional", Pepe Arias lo puso como una comparación de magnitudes frente a la agenda de la reforma: "un punto de rentabilidad, señor Lavín, en 30 años a tasa compuesta es 30% más o menos de diferencia en su jubilación". Su tesis es que el debate público quedó anclado en la variable equivocada —la comisión— y que ninguna rebaja de comisión alcanza a compensar un punto de rentabilidad sostenido.

La aritmética respalda el orden de magnitud: ese 30% cae entre el 27% de una carrera completa de cuarenta años y el 35% de un capital ya acumulado. Y hay una particularidad del diseño chileno que refuerza el punto y que no aparece en la cita: la comisión de las AFP se cobra sobre la renta imponible, no sobre el saldo. Es un descuento al flujo que entra, no una carga que se aplique año tras año sobre el fondo acumulado. Con una cotización de 10% y una comisión del orden de un punto del sueldo, la comisión equivale a alrededor de un 10% de lo que se ahorra, y eliminarla completa mejoraría la pensión más o menos en esa proporción, una sola vez. Un punto de rentabilidad, en cambio, se multiplica por sí mismo cada año.

Vale la pena marcar el límite del argumento, porque no es universal: si la comisión se cobrara sobre el saldo administrado —como ocurre en los fondos mutuos y en buena parte de los sistemas de pensiones del mundo— sería un descuento a la tasa misma, capitalizaría en contra con exactamente la misma fuerza, y la comparación se daría vuelta. Sharpe (1991) mostró además por qué la rentabilidad extra es difícil de garantizar y el ahorro de costos no: en agregado, la gestión activa rinde el mercado menos costos, así que un punto de comisión es cierto mientras que un punto de retorno es una apuesta.

Relación con otros conceptos

El interés compuesto es la operación inversa del valor presente: descontar es capitalizar hacia atrás, y toda valoración de un activo de larga duración —un bono, una acción, una concesión— es la misma exponencial leída al revés. Se conecta con la distinción entre tasa nominal y tasa real, porque solo la segunda mide pensión efectiva; con la prima por riesgo, que es el precio que se paga en volatilidad por ese punto adicional de retorno esperado; con el horizonte de inversión, que en la teoría del ciclo de vida es lo que justifica una cartera más agresiva en el afiliado joven; y con el costo de oportunidad, ya que retirar fondos anticipadamente no cuesta el monto retirado sino ese monto capitalizado hasta la jubilación.

Fuentes y lecturas

• Price, R. (1771), Observations on Reversionary Payments, T. Cadell, Londres.
• Modigliani, F. y Brumberg, R. (1954), "Utility Analysis and the Consumption Function", en K. Kurihara (ed.), Post-Keynesian Economics, Rutgers University Press.
• Samuelson, P. (1969), "Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming", Review of Economics and Statistics, 51(3).
• Sharpe, W. (1991), "The Arithmetic of Active Management", Financial Analysts Journal, 47(1).
• Bodie, Z., Kane, A. y Marcus, A. (2018), Investments, McGraw-Hill (capítulos sobre rentabilidades históricas y media geométrica).
• Comisión Asesora Presidencial sobre el Sistema de Pensiones (2015), Informe final, Santiago de Chile.